Números Primos, operações com frações.

NÚMEROS PRIMOS
Dizemos que um número natural é primo se ele é apenas divisível por dois números
naturais: a unidade (1) e ele mesmo. Como se pode perceber, o número 1, não é primo
pois apenas admite um divisor (ele próprio).
Existe um método eficiente de determinar números primos, é o chamado Crivo de
Eratóstenes que consiste a partir do número 2 (primeiro primo), eliminar todos os
múltiplos de 2. O próximo número não eliminado é primo. Em seguida, a partir do 3
(próximo primo) elimina-se os múltiplos de 3 e assim sucessivamente.
{ P = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,...}
O único número primo que é par é o 2, os demais são ímpares, mas, nem todo ímpar é
primo.
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o
menor número natural não nulo que é, simultaneamente múltiplo desses números.
Regra prática para calculo do mmc entre dois ou mais números – Regra da
Fatoração (Decomposição em fatores primos).
Vejamos como calcular, por exemplo, o mmc de 14, 45 e 6.
Logo, concluímos: ( 14,45,6) 2 3 5 7 630 mmc = ´ 2 ´ ´ =
Propriedades do mmc
a) O mmc entre dois ou mais múltiplos entre si é o maior deles;
Exemplos: a) mmc(5,10) = 10 ; b) mmc(3,9,81) = 81; c) mmc(2,4,8,16) = 16
b) O mmc entre dois ou mais números primos é o produto deles;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 2 ´ 3 = 6; b) mmc(2,5,7) = 2 ´ 5 ´ 7 = 70 .
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o maior
número natural não nulo que é, simultaneamente divisor de todos eles.
Vejamos alguns métodos que nos permite calcular o máximo divisor comum (mdc) entre
dois ou mais números. Tomaremos como exemplo calcular o mdc de 280 e 60.
(1º método): Método da decomposição em fatores primos
1º passo: Decompor o número em fatores primos;
2º passo: Escrever o número na forma fatorada completa;
3º passo: O mdc é o produto dos fatores comuns, cada um com o menor expoente.
280 2
140 2
70 2
35 5
7 7
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
280 = 2 5 7 3 ´ ´
60 = 2 3 5 2 ´ ´
Logo mdc(280, 60) = 2 5 4 5 20 2 ´ = ´ =
(1º passo) Escrevemos os números dados, um ao lado do outro,
separados por vírgula e um traço vertical ao lado do último. À
direita desse traço colocamos os fatores primos pelos quais é
possível dividir, pelo menos, um dos números colocados à
esquerda.
14, 45, 6 2
(2º passo) Abaixo dos números da esquerda, colocamos o
resultado da divisão de cada um deles, pelo fator primo
conveniente. Aquele que não for possível dividir é repetido.
(3º passo) Repetimos esses dois passos até que se obtenham
todos os quocientes iguais a 1. O mmc é dado pelo produto dos
fatores primos que estão à direita do traço.
(2º método): Método das divisões sucessivas (Método Prático)
1º passo: Dividimos o maior número pelo menor;
- Se o resto for zero, o mdc é o divisor desta operação
- Se o resto não for zero, efetuamos a divisão do divisor pelo resto
2º passo: Repetimos esse procedimento até que o rosto seja zero. O mdc será o divisor
desta última operação.
OBS.: Para calcular o mdc de três ou mais números, devemos:
- Calcular o mdc de dois dos números dados, o resultado com o terceiro.
Propriedades do mdc
a) O mdc entre dois ou mais múltiplos entre si é o menor deles;
Exemplos: a) ( mmc 5,10) = 5; b) mmc(3,9,81) = 3 ; c) mmc(2,4,8,16) = 2
b) O mdc entre dois ou mais números primos é igual a 1;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 1; b) mmc(2,5,7) = 1; c) mmc(3,11) = 1
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS FRACIONÁRIOS
Tem-se observado, que o cálculo com frações tem sido a causa de
dificuldades entre muitos alunos do nível Fundamental e Médio.
Essas dificuldades, certamente, são justificadas pelo baixo
desempenho nas operações com números inteiros, já que as
operações com frações estão fundamentadas nas operações com
esses números.
Para ser um exímio calculista, basta prestar atenção a pequenos
detalhes que devem ser observados, como por exemplos:
As regras de sinais aprendidas quando estudamos números
inteiros são válidas para todos os outros conjuntos numéricos;
Dentre as operações, só a de adição e subtração envolvendo números fracionários de
denominadores diferentes exigem o mmc;
¬ Quociente
¬ mdc(280,60) = 20
¬ Resto
¬ Quociente
¬ mdc(36,120,160) = 4
¬ Resto
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO (ADIÇÃO ALGÉGRICA)
Toda expressão numérica que contém apenas as operações de adição e subtração é
denominada adição algébrica.
A soma é indicada por a + b = c , onde ( a e b ) são as parcelas e (c ) é o total.
NUNCA É DEMAIS LEMBRAR:
As regras utilizadas nas operações com números inteiros, também
são válidas para as operações com quaisquer outros tipos de
números.

As frações têm mesmo denominador.

As frações têm denominadores diferentes
Adição algébrica mista .
Conservamos o denominador e adicionamos algebricamente os numeradores.
Reduzimos as frações ao mesmo denominador e prosseguimos como no caso anterior.
NOTA: Em qualquer que
seja a operação, se aparecer
número misto, devemos
transformá-lo em fração
imprópria.
Acrescentamos apenas que, se a expressão apresentar frações, decimais e inteiros,
ficará melhor se transformarmos os decimais e os inteiros em fração.
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é indicada por a ´ b = c ou a · b = c ou ainda ab = c , onde ( a e b ) são
os fatores e ( c ) é o produto.
Daremos ênfase à simplificação do produto, onde podemos simplificar o numerador de
uma fração com o denominador de outra.
DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
A divisão é indicada por D ¸ d = q + r onde (D) é o dividendo, (d ) é o divisor, (q ) é o
quociente e ( r ) o resto. O algoritmo utilizado na divisão de inteiros é denominado
método das chaves:
OBSERVAÇÃO:
Numa divisão o divisor deve ser sempre diferente de zero:
n ¸ 0(nÎ R* ) , 5 ¸ 0, -15 ¸ 0,Essas expressões não têm significado matemático.
A expressão 0 ¸ 0 representa uma indeterminação .

Números mistos

NUMERO MISTO:
Toda fração imprópria pode ser escrita na forma mista.
Chama-se número misto todo número composto de uma parte inteira (p) e de uma parte
fracionária (a/b),assim: 2 inteiro e 1/3.
TÉCNICAS DE TRANSFORMAÇÕES
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM NÚMERO MISTO (OU EXTRAÇÃO
DE INTEIROS)
A transformação de fração imprópria em número misto é feita da seguinte maneira:
· Divide-se o numerador pelo denominador.
· O quociente é a parte inteira; o resto é o numerador. E o denominador é o mesmo da
fração imprópria.
Vamos transformar a fração imprópria
em número misto.
Dividindo 7 por 2, temos: 7 : 2 = 3 e sobra 1, assim, o quociente 3, é a parte inteira do
número misto e o resto é o numerador. O denominador é o mesmo da fração imprópria 7/2=3 inteiro e 1/2.
SE LIGUE!
Esse processo de transformar a fração imprópria em número misto é também
conhecido como extração de inteiros. Observe:
7/2 = 2/2 + 2/2 + 2/2 + 1/2 .Note que: 2/2 é igual a um inteiro.

TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA.
A transformação de número misto em número fração imprópria é feita de maneira mais
simples ainda:
· O numerador da fração imprópria será o produto do denominador pela parte inteira
mais o numerador;
· O denominador é o mesmo do número misto.
Vamos transformar o número misto
2 inteiro e 1/3 em fração imprópria.
Observe que vamos efetuar o inverso do processo anterior. O numerador da fração
imprópria procurada será: o produto do denominador (3) pela parte inteira (2) somado
ao numerador (1). O denominador é o mesmo do número misto dado. Assim:
DÍZIMAS PERIÓDICAS:
Vamos tranformar 5/3 em decimal.
Dividindo-se 5 por 3, temos: 5/3= 1,666...
Note que o número de casas decimais é
infinito e existe um números que se repetem constantemente, denominado período.
A esse número decimal infinito e periódico denominamos DÍZIMA PERIÓDICA.
Vejamos como fica 32/15 na forma decimal.
Dividindo-se 32 por 15, temos: 32/15= 2,1333...
que também é uma dízima periódica cujo período é 3.
CLASSIFICAÇÃO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA:
Uma dízima periódica pode ser simples ou composta.
· Dizimas Periódicas Simples: São aquelas onde o período se apresenta logo após a
vírgula, ou seja, entre a vírgula e o período não há nenhum outro número.
Como já vimos 5/3=1,666... Note que o período é 6 e que ele vem logo após a vírgula.
Vejamos novamente que 32/15= 2,1333... Note que o período é 3 e que ele não vem logo
após a vírgula. Existe um número (1) que está entre a vírgula e o período. Assim,
2,1333... é um exemplo de dízima periódica composta. O número 1, que está entre a
vírgula e o período e chamado de não período, porque não faz parte do período.
Portanto temos que:
· Dízimas Periódicas Compostas: São aquelas onde entre a vírgula e o período
aparece um número que não faz parte do período.
Agora é a sua vez!
Transforme as frações 5/9 ; 25/4 ; 16/15
em decimais e classifique em exato ou periódico
(dízima periódica) e neste caso classifique-a em Simples ou Composta.
APLICAÇÕES:
Os números mistos ainda são muito utilizados na industria para medição de materiais em
polegadas e muitos cálculos principalmente na área de eletricidade e mecânica.
Assim, o número 2 3'/4 é lido como: 2 inteiros e três quartos de polegadas. Uma polegada
(1’) equivale a aproximadamente 2,54 cm ou 25,4 mm.
A polegada por sua vez aparece nas TV’S, Tubos e conexões, fios, materiais de
informática, armamento, etc.

Introdução aos números racionais II

BREVE HISTÓRICO SOBRE NÚMEROS RACIONAIS:
Os rebanhos de ovelhas, vacas e cabras existem em quantidades discretas; isto é,
quantidades que já vêm organizadas em unidades naturais. Os números naturais
resolvem o problema da contagem. Com eles podemos comprar laranjas, ovos, sapatos,
camisas e muitas outras coisas. No entanto, quando começou a lotear a terra, no antigo
Egito, o homem deparou-se e passou a trabalhar com quantidades contínuas; aquelas
que não vêm separadas em unidades naturais. Para controlá-las, o número natural não
era suficiente. Inventou-se, assim, a medição, e com ela surgiram problemas que os
números naturais não resolviam uma vez que nem sempre se tem resultados inteiros.
Com a medição surgiu a fração. Assim, um novo conjunto numérico, o dos números
racionais, começava a surgir.
No Egito antigo, as enchentes do Nilo destruíam os marcos de limites de propriedades; e
vinham os homens do faraó efetuar a medida da terra, a geometria. Por isso, no Egito, já
tinham inventado números fracionários e frações.
Quando dividimos um bolo em 4 partes, podemos enumerar as partes usando números
naturais: 1, 2, 3 e 4. Porém, o simples número natural, que indica a quantidade de
pedaços retirados, não é suficiente. Se digo “comi 3 pedaços de bolo”, dei uma
informação incompleta: dei a quantidade, mas não disse de que tamanho eram os
pedaços. Dei a quantidade, porém não dei a qualidade. Numerei, porém não denominei.
Para denominar é preciso um segundo número. Se digo “comi 3 pedaços de um bolo que
foi dividido em 4 portes equivalente”, ai a informação está completa, desde que se saiba
de que bolo falamos.
Nesse caso escrevemos: 3/4
De um modo geral escrevemos: a/b
onde o numeral a indica a quantidade de partes consideradas – NUMERADOR, e o numeral b (b = 0 ) dá nome às partes, ou melhor, indica a quantidade de partes que o inteiro foi dividido – DENOMINADO.
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA:
Já vimos anteriormente como representar números inteiros geometricamente, ou seja,
na reta numérica ou reta numerada. Vamos relembrar:
{ Z = ...,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6...}
Os números racionais, também podem ser representados na reta numérica.
Veja a representação do número 3 : Note que 3 = 3 : 2 = 1,5, portanto basta tomar o
ponto que se encontra, exatamente, na metade do segmento entre 1 e 2.

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO:
Considerando a reta numérica, chamamos módulo ou valor absoluto de um número
qualquer, a distância desse número ao ponto de origem da reta, o ponto zero. O Módulo
ou valor absoluto de um número, por exemplo, 2 é indicado colocando esse número
entre duas barras verticais, assim: l2l.
Não perca de vista que módulo ou valor absoluto representa distância, logo só pode ser
um valor positivo. Assim, o módulo ou valor absoluto de um número qualquer ou de seu
oposto é sempre ele mesmo positivo.
Assim, l5l = 5, pois a distância do ponto 5 até o ponto 0 é de cinco unidades.
Da mesma forma, l-3l = 3, pois a distância do ponto -3 até a origem é de 3 unidades.
TIPOS DE FRAÇOES E SUAS CLASSIFICAÇÕES:
As frações estão divididas em dois grandes grupos ou tipos. São eles:
- Frações decimais: Esse grupo é formado por toda fração que tem por denominador
uma potência de 10, isto é: 10, 100, 1000, etc.
· Exemplos: 3 , 27 , 1
10 100 1000 etc
- Frações Ordinárias: Este é formado por toda fração de denominador diferente de
potências de 10.
· Exemplos: , .


Tanto as frações decimais quanto as frações ordinárias podem ser classificadas como:
1. Fração Própria: É aquela cujo numerador é menor do que o denominador. Seu
módulo representam um número menor que 1.
· Exemplos:

2. Fração Imprópria: É aquela cujo numerador é maior que o denominador. Seu
módulo representa um número maior que 1.
· Exemplos

3. Fração Aparente: É aquela cujo numerador é multiplo do denominador. Representa um número natural.

Histórico sobre números racionais

BREVE HISTÓRICO SOBRE NÚMEROS RACIONAIS:
Os números estão presentes em tudo que fazemos e em que pensamos. Fazem
parte de todas as áreas do conhecimento: na Biologia, na Química, na Física, na
Economia, na Agricultura, na Pecuária, enfim, o universo são números!
Certa vez Galileu Galilei escreveu” a Matemática é o alfabeto com o qual Deus
criou o Universo! Para fazer alusão que tudo é números. O Universo é dotado de formas
geométricas e de uma simetria incomparável, que vão desde o posicionamento das
estrelas , passando pelo movimento dos planetas, seguindo o infinito por caminhos
desmembrados pelo homem. O corpo humano pode ser expresso em números,
respeitando a individualidade de cada ser e, considerando os valores médios podemos
destacar alguns números do corpo humano. No sistema circulatório são 97mil quilometro
de veias, artérias e vasos capilares. Se fossem alinhados eles dariam 2,5 voltas em torno
da terra. No sistema nervoso o cérebro do homem pesa 1,4 kg e o da mulher 1,25 kg e
abrigam 25 bilhões de neurônios. A dor e a temperatura viajam por fibras de apenas 3
micrometros de diâmetro ,a uma velocidade de 15 m/s.
A Matemática encontra aplicações imensuráveis em vários ramos da atividade
humana. Em química: nas reações; no estudo da matéria. Na agricultura: no tempo das
colheitas; na distância das mudas para plantio etc.
Um bom médico, um bom dentista, um bom advogado, um bom jornalista, enfim,
um bom profissional, de qualquer área necessita dominar, em maior ou menor grau, a
Matemática. Não se trata da Matemática abstrata cercada de seus teoremas e axiomas
que está presente no pensamento dos matemáticos e que muito contribui para o avanço
das idéias e conseqüente, aprimoramento das técnicas, mas a Matemática ministrada no
ensino fundamental e médio.
O simples fato de um médico registrar no prontuário de um paciente que um
determinado medicamento deve ser ministrado de 3 em 3 horas ou de 4 em 4 horas, tem
uma grande importância no que se refere ao início e ao fim do tratamento. A
determinação da idade e altura de uma pessoa morta há muitos anos pelo simples
exame do maxilar pode parecer fantástico para a maioria das pessoas, mas para os bons
dentistas não é uma novidade. Eles sabem que as alturas máximas e mínimas de um
indivíduo podem ser estimadas a partir de três dentes.
Os argumentos acima têm o objetivo de despertar o seu interesse pela Matemática
e suas aplicações, sobretudo no seu cotidiano, possibilitando que através destes
conhecimentos você possa transformar a realidade da sociedade em que vive.