NÚMEROS PRIMOS
Dizemos que um número natural é primo se ele é apenas divisível por dois números
naturais: a unidade (1) e ele mesmo. Como se pode perceber, o número 1, não é primo
pois apenas admite um divisor (ele próprio).
Existe um método eficiente de determinar números primos, é o chamado Crivo de
Eratóstenes que consiste a partir do número 2 (primeiro primo), eliminar todos os
múltiplos de 2. O próximo número não eliminado é primo. Em seguida, a partir do 3
(próximo primo) elimina-se os múltiplos de 3 e assim sucessivamente.
{ P = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,...}
O único número primo que é par é o 2, os demais são ímpares, mas, nem todo ímpar é
primo.
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o
menor número natural não nulo que é, simultaneamente múltiplo desses números.
Regra prática para calculo do mmc entre dois ou mais números – Regra da
Fatoração (Decomposição em fatores primos).
Vejamos como calcular, por exemplo, o mmc de 14, 45 e 6.
Logo, concluímos: ( 14,45,6) 2 3 5 7 630 mmc = ´ 2 ´ ´ =
Propriedades do mmc
a) O mmc entre dois ou mais múltiplos entre si é o maior deles;
Exemplos: a) mmc(5,10) = 10 ; b) mmc(3,9,81) = 81; c) mmc(2,4,8,16) = 16
b) O mmc entre dois ou mais números primos é o produto deles;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 2 ´ 3 = 6; b) mmc(2,5,7) = 2 ´ 5 ´ 7 = 70 .
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o maior
número natural não nulo que é, simultaneamente divisor de todos eles.
Vejamos alguns métodos que nos permite calcular o máximo divisor comum (mdc) entre
dois ou mais números. Tomaremos como exemplo calcular o mdc de 280 e 60.
(1º método): Método da decomposição em fatores primos
1º passo: Decompor o número em fatores primos;
2º passo: Escrever o número na forma fatorada completa;
3º passo: O mdc é o produto dos fatores comuns, cada um com o menor expoente.
280 2
140 2
70 2
35 5
7 7
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
280 = 2 5 7 3 ´ ´
60 = 2 3 5 2 ´ ´
Logo mdc(280, 60) = 2 5 4 5 20 2 ´ = ´ =
(1º passo) Escrevemos os números dados, um ao lado do outro,
separados por vírgula e um traço vertical ao lado do último. À
direita desse traço colocamos os fatores primos pelos quais é
possível dividir, pelo menos, um dos números colocados à
esquerda.
14, 45, 6 2
(2º passo) Abaixo dos números da esquerda, colocamos o
resultado da divisão de cada um deles, pelo fator primo
conveniente. Aquele que não for possível dividir é repetido.
(3º passo) Repetimos esses dois passos até que se obtenham
todos os quocientes iguais a 1. O mmc é dado pelo produto dos
fatores primos que estão à direita do traço.
(2º método): Método das divisões sucessivas (Método Prático)
1º passo: Dividimos o maior número pelo menor;
- Se o resto for zero, o mdc é o divisor desta operação
- Se o resto não for zero, efetuamos a divisão do divisor pelo resto
2º passo: Repetimos esse procedimento até que o rosto seja zero. O mdc será o divisor
desta última operação.
OBS.: Para calcular o mdc de três ou mais números, devemos:
- Calcular o mdc de dois dos números dados, o resultado com o terceiro.
Propriedades do mdc
a) O mdc entre dois ou mais múltiplos entre si é o menor deles;
Exemplos: a) ( mmc 5,10) = 5; b) mmc(3,9,81) = 3 ; c) mmc(2,4,8,16) = 2
b) O mdc entre dois ou mais números primos é igual a 1;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 1; b) mmc(2,5,7) = 1; c) mmc(3,11) = 1
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS FRACIONÁRIOS
Tem-se observado, que o cálculo com frações tem sido a causa de
dificuldades entre muitos alunos do nível Fundamental e Médio.
Essas dificuldades, certamente, são justificadas pelo baixo
desempenho nas operações com números inteiros, já que as
operações com frações estão fundamentadas nas operações com
esses números.
Para ser um exímio calculista, basta prestar atenção a pequenos
detalhes que devem ser observados, como por exemplos:
As regras de sinais aprendidas quando estudamos números
inteiros são válidas para todos os outros conjuntos numéricos;
Dentre as operações, só a de adição e subtração envolvendo números fracionários de
denominadores diferentes exigem o mmc;
¬ Quociente
¬ mdc(280,60) = 20
¬ Resto
¬ Quociente
¬ mdc(36,120,160) = 4
¬ Resto
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO (ADIÇÃO ALGÉGRICA)
Toda expressão numérica que contém apenas as operações de adição e subtração é
denominada adição algébrica.
A soma é indicada por a + b = c , onde ( a e b ) são as parcelas e (c ) é o total.
NUNCA É DEMAIS LEMBRAR:
As regras utilizadas nas operações com números inteiros, também
são válidas para as operações com quaisquer outros tipos de
números.
Dizemos que um número natural é primo se ele é apenas divisível por dois números
naturais: a unidade (1) e ele mesmo. Como se pode perceber, o número 1, não é primo
pois apenas admite um divisor (ele próprio).
Existe um método eficiente de determinar números primos, é o chamado Crivo de
Eratóstenes que consiste a partir do número 2 (primeiro primo), eliminar todos os
múltiplos de 2. O próximo número não eliminado é primo. Em seguida, a partir do 3
(próximo primo) elimina-se os múltiplos de 3 e assim sucessivamente.
{ P = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,...}
O único número primo que é par é o 2, os demais são ímpares, mas, nem todo ímpar é
primo.
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o
menor número natural não nulo que é, simultaneamente múltiplo desses números.
Regra prática para calculo do mmc entre dois ou mais números – Regra da
Fatoração (Decomposição em fatores primos).
Vejamos como calcular, por exemplo, o mmc de 14, 45 e 6.
Logo, concluímos: ( 14,45,6) 2 3 5 7 630 mmc = ´ 2 ´ ´ =
Propriedades do mmc
a) O mmc entre dois ou mais múltiplos entre si é o maior deles;
Exemplos: a) mmc(5,10) = 10 ; b) mmc(3,9,81) = 81; c) mmc(2,4,8,16) = 16
b) O mmc entre dois ou mais números primos é o produto deles;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 2 ´ 3 = 6; b) mmc(2,5,7) = 2 ´ 5 ´ 7 = 70 .
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais não nulos, é o maior
número natural não nulo que é, simultaneamente divisor de todos eles.
Vejamos alguns métodos que nos permite calcular o máximo divisor comum (mdc) entre
dois ou mais números. Tomaremos como exemplo calcular o mdc de 280 e 60.
(1º método): Método da decomposição em fatores primos
1º passo: Decompor o número em fatores primos;
2º passo: Escrever o número na forma fatorada completa;
3º passo: O mdc é o produto dos fatores comuns, cada um com o menor expoente.
280 2
140 2
70 2
35 5
7 7
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
280 = 2 5 7 3 ´ ´
60 = 2 3 5 2 ´ ´
Logo mdc(280, 60) = 2 5 4 5 20 2 ´ = ´ =
(1º passo) Escrevemos os números dados, um ao lado do outro,
separados por vírgula e um traço vertical ao lado do último. À
direita desse traço colocamos os fatores primos pelos quais é
possível dividir, pelo menos, um dos números colocados à
esquerda.
14, 45, 6 2
(2º passo) Abaixo dos números da esquerda, colocamos o
resultado da divisão de cada um deles, pelo fator primo
conveniente. Aquele que não for possível dividir é repetido.
(3º passo) Repetimos esses dois passos até que se obtenham
todos os quocientes iguais a 1. O mmc é dado pelo produto dos
fatores primos que estão à direita do traço.
(2º método): Método das divisões sucessivas (Método Prático)
1º passo: Dividimos o maior número pelo menor;
- Se o resto for zero, o mdc é o divisor desta operação
- Se o resto não for zero, efetuamos a divisão do divisor pelo resto
2º passo: Repetimos esse procedimento até que o rosto seja zero. O mdc será o divisor
desta última operação.
OBS.: Para calcular o mdc de três ou mais números, devemos:
- Calcular o mdc de dois dos números dados, o resultado com o terceiro.
Propriedades do mdc
a) O mdc entre dois ou mais múltiplos entre si é o menor deles;
Exemplos: a) ( mmc 5,10) = 5; b) mmc(3,9,81) = 3 ; c) mmc(2,4,8,16) = 2
b) O mdc entre dois ou mais números primos é igual a 1;
Exemplos: a) mmc(2,3) = 1; b) mmc(2,5,7) = 1; c) mmc(3,11) = 1
c) O mmc pode ser reduzido combinando as duas propriedades anteriores.
Exemplos: a) mmc(2,3,5,10) = mmc(2,3) ´ mmc(5,10) = 6 ´10 = 60
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS FRACIONÁRIOS
Tem-se observado, que o cálculo com frações tem sido a causa de
dificuldades entre muitos alunos do nível Fundamental e Médio.
Essas dificuldades, certamente, são justificadas pelo baixo
desempenho nas operações com números inteiros, já que as
operações com frações estão fundamentadas nas operações com
esses números.
Para ser um exímio calculista, basta prestar atenção a pequenos
detalhes que devem ser observados, como por exemplos:
As regras de sinais aprendidas quando estudamos números
inteiros são válidas para todos os outros conjuntos numéricos;
Dentre as operações, só a de adição e subtração envolvendo números fracionários de
denominadores diferentes exigem o mmc;
¬ Quociente
¬ mdc(280,60) = 20
¬ Resto
¬ Quociente
¬ mdc(36,120,160) = 4
¬ Resto
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO (ADIÇÃO ALGÉGRICA)
Toda expressão numérica que contém apenas as operações de adição e subtração é
denominada adição algébrica.
A soma é indicada por a + b = c , onde ( a e b ) são as parcelas e (c ) é o total.
NUNCA É DEMAIS LEMBRAR:
As regras utilizadas nas operações com números inteiros, também
são válidas para as operações com quaisquer outros tipos de
números.
As frações têm mesmo denominador.
As frações têm denominadores diferentes
Adição algébrica mista .
Conservamos o denominador e adicionamos algebricamente os numeradores.
Reduzimos as frações ao mesmo denominador e prosseguimos como no caso anterior.
NOTA: Em qualquer que
seja a operação, se aparecer
número misto, devemos
transformá-lo em fração
imprópria.
Acrescentamos apenas que, se a expressão apresentar frações, decimais e inteiros,
ficará melhor se transformarmos os decimais e os inteiros em fração.
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é indicada por a ´ b = c ou a · b = c ou ainda ab = c , onde ( a e b ) são
os fatores e ( c ) é o produto.
Daremos ênfase à simplificação do produto, onde podemos simplificar o numerador de
uma fração com o denominador de outra.
DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
A divisão é indicada por D ¸ d = q + r onde (D) é o dividendo, (d ) é o divisor, (q ) é o
quociente e ( r ) o resto. O algoritmo utilizado na divisão de inteiros é denominado
método das chaves:
OBSERVAÇÃO:
Numa divisão o divisor deve ser sempre diferente de zero:
n ¸ 0(nÎ R* ) , 5 ¸ 0, -15 ¸ 0,Essas expressões não têm significado matemático.
A expressão 0 ¸ 0 representa uma indeterminação .
Adição algébrica mista .
Conservamos o denominador e adicionamos algebricamente os numeradores.
Reduzimos as frações ao mesmo denominador e prosseguimos como no caso anterior.
NOTA: Em qualquer que
seja a operação, se aparecer
número misto, devemos
transformá-lo em fração
imprópria.
Acrescentamos apenas que, se a expressão apresentar frações, decimais e inteiros,
ficará melhor se transformarmos os decimais e os inteiros em fração.
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é indicada por a ´ b = c ou a · b = c ou ainda ab = c , onde ( a e b ) são
os fatores e ( c ) é o produto.
Daremos ênfase à simplificação do produto, onde podemos simplificar o numerador de
uma fração com o denominador de outra.
DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
A divisão é indicada por D ¸ d = q + r onde (D) é o dividendo, (d ) é o divisor, (q ) é o
quociente e ( r ) o resto. O algoritmo utilizado na divisão de inteiros é denominado
método das chaves:
OBSERVAÇÃO:
Numa divisão o divisor deve ser sempre diferente de zero:
n ¸ 0(nÎ R* ) , 5 ¸ 0, -15 ¸ 0,Essas expressões não têm significado matemático.
A expressão 0 ¸ 0 representa uma indeterminação .
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